Mit seinen 1,96 Metern ist Fabian Giefer wie gemacht für die Torhüter-Position. Bereits in seiner Jugend stand der gebürtige Rheinland-Pfälzer zwischen den Pfosten. Erst bei Amateurvereinen, im Alter von 13 Jahren wechselte er dann in die Jugendabteilung von Bayer 04 Leverkusen. Dort entwickelte sich der charmante Keeper zu einem echten Leistungsträger und schaffte den Sprung in die Leverkusener Profimannschaft.
Auch sein Bundesligadebüt 2009 war ein voller Erfolg: Weil Stammtorhüter René Adler ausfiel, musste kurzerhand der damals 19-Jährige einspringen und hielt beim 4:0-Sieg über Eintracht Frankfurt seinen Kasten sauber. Wenig später schnupperte Giefer bereits europäische Luft und debütierte für die Werkself in der Europa League. Nach einem kurzen Zwischenstopp bei Fortuna Düsseldorf wechselte Giefer schließlich zum FC Schalke 04. Dort war er hinter Ralf Fährmann die Nummer zwei, ehe er in der Winterpause 2017 zum englischen Zweitligisten Bristol City ausgeliehen wurde.
Im Sommer 2017 wechselte der ehemalige Jugendnationalspieler zum FC Augsburg und erhielt dort einen Vertrag über vier Jahre bis 2021. Den FCA bezeichnet Giefer als einen „familiären Klub mit einem angenehm ruhigen Umfeld“.